高中经济高考备考不可忽视的“数学常识”

——经济模块试题的数学支撑

孙恒振

内容提要：经济学离不开数学，高考试卷中考查经济模块内容的试题与计算有关是不可避免的，文科考生对这类试题有一种“先天的恐惧”。面向高中阶段学生的经济模块与数学有关的试题，并不需要高深的数学素养，只要具备小学、初中数学的水平，一般都是可以解决的。思想政治学科的高考备考，熟悉与之相关的数学基础知识是必要的，也是可行的。

关键词：经济模块；计算能力；数学基础

马克思指出，一种科学只有成功地运用数学的时候，才能达到真正完善的地步（保尔·拉法格.《回忆马克思恩格斯》,人民出版社,1973:7）。经济学离不开数学，数学在现代经济学中被用来当作研究经济行为和现象的一种工具，现代经济学中几乎每个领域都要用到数学的知识，基于这个现实，高考及高考模拟试卷中的一些经济模块试题与数学有关就是很正常的情况了。尽管经济模块试题所涉及的都是一些比较简单的数学知识，但不熟悉这些基础知识却很容易“在小河沟里翻船”，因此，我们有必要对经济模块所涉及的一些数学基础知识做到心中有数，为高考备考扫清障碍。

一、收入的“绝对差距”与“相对差距”

收入差距可以分为相对差距和绝对差距。相对差距是以收入比重或收入相对额表示的收入差距；绝对差距是指以货币或实物指标表示的居民高低收入水平差距。

收入差距是反映贫富程度的差距的，在不列出双方的具体数据的情况下，单纯对比“绝对收入”的大小，是不能准确反映富裕程度的差距的，比如，A省城乡人均收入分别为10万元与8万元，B省城乡人均收入为3万元与1万元，两省城乡居民的人居收入的绝对差距都是2万元，单凭“城乡居民收入差距2万元”这个数据，我们无法确定两省的贫富差距哪个大。基于此，统计部门一般都采用收入“相对差距”，比如，在上面的数据中，A省城市居民的人均收入比乡村居民的平均收入高（10-8）÷8×100%=12.5%，B省城市居民的人均收入比乡村居民的平均收入高（3-1）÷1×100%=200%。也就是说，虽然两个城市的城乡居民人均收入的绝对差距都是2万元，而两个城市城乡居民的人均收入相对差距却有很大悬殊（12,5%远远小于200%），这也能够说明相对收入差距在反映富裕程度的差异方面，要比收入绝对差距更为直观有效。

目前我国统计部门发布的收入差距的数据，都是指的收入“相对差距”，这就是个“常识”，不熟悉这个“常识”，解答相关试题就会遇到障碍，下面是山东省2020年普通高中学业水平等级考试（模拟卷）第3题：

我国2009-2018年GDP和城乡居民人均收入的实际增长速度变化如下图所示。

从图中可以判断出，在此期间（  ）

①城镇居民收入连续增长，收入结构日趋合理

②农村经济不断发展，农村居民恩格尔系数不断降低

③城乡居民收入实际增速与GDP增速变动基本一致，城乡居民共享经济发展成果

④农村居民收入实际增速整体高于城镇居民收入实际增速，城乡居民收入差距逐渐缩小

A.①②           B.①④             C.②③         D.③④

答案：D

该题面世后，有不少一线老师对该题答案④提出质疑，他们的理由是：“在没有具体数据的情况下，仅仅根据农村居民收入实际增速整体高于城镇居民收入实际增速，是无法确定城乡居民收入差距是扩大还是缩小的。”

很明显，提出质疑的一线老师是把该题中的“收入差距”理解为“绝对收入差距”，下面是2017年与2018年的数据对比：

（数据来源：国际统计局）

从表格中的数据可以看出，虽然2018年乡村居民的人均收入增幅大于城市居民人均收入的增幅（8.8%＞7.8%），但2018较之2017年我国城乡居民收入的绝对差距扩大了，这应该就是部分一线教师质疑该题答案④的原因吧，相信这些老师熟悉了收入“绝对差距”与“相对差距”两个概念的区别，就不会有这个质疑了。

二、“百分之若干”与“若干百分点”

在常见的经济数据中，“增（减）百分若干”、“增（减）若干百分点”都是常见的表达方式，什么情况下用前者、什么情况下用后者，也是我们必须弄清楚“常识”之一。

5比4大（多）百分之几？

计算过程（5-4）÷4×100=25%，

5%比4%大（多）百分之几？

很多人会脱口而出“多1%”。你认可这个答案吗？

高年级的小学生会告诉您正确答案是“5%比4%大（多）1个百分点”；“5%比4%大（多）25%”，计算过程：（5%-4%）÷4%×100=25%

为什么会有人出错，原因就是不熟悉一个数学常识：比较百分率的大小，用“增（减）若干个百分点”来表示。

下面是国家统计局的公布的一组数据：

年末全国就业人员77471万人，其中城镇就业人员44247万人，占全国就业人员比重为57.1%，比上年末上升1.1个百分点……全年实物商品网上零售额85239亿元，按可比口径计算，比上年增长19.5%，占社会消费品零售总额的比重为20.7%，比上年提高2.3个百分点……全国居民恩格尔系数为28.2%，比上年下降0.2个百分点，其中城镇为27.6%，农村为30.0%。（数据来源：中华人民共和国2019年国民经济和社会发展统计公报）

在上面的国家统计局发布的数据中，涉及的两个“比重”一个“恩格尔系数”都是用百分比表示的（57.1%、20.7%、28.2%），它们与去年、上半年的数据比较，分别“上升1.1个百分点”、“提高2.3个百分点”、“下降0.2个百分点”，而不是。“上升1.1%”、“提高2.3%”、“下降0.2%”。

不能区分“增（减）百分若干”、“增（减）若干百分点”，把“增（减）若干百分点”说成是“增（减）百分之若干”不是个别现象，下面是2013年全国新课标文综Ⅰ卷第13题：

中国H公司与美国某公司签订服装出口合同，约定服装单价为24美元，一年后交货。H公司生产一件服装的成本是144人民币元。签订合同时汇率为1美元=6.32人民币元，交货时为1美元=6.27人民币元。在不考虑其他条件的情况下，H公司交货时的利润率比签约时的利润率（   ）

A.下降0.83%  B.下降0.76%  C.上升0.83%  D.上升0.76%

公布的答案：A

【试题分析】签约时的利润率为（24×6.32-144）÷144×100%≈5.33%；交货时的利润率为（24×6.27-144）÷144×100%=4.50%，5.33%-4.5%=0.83%，即交货时的利润率比签约时的利润率下降了0.83个百分点，而根据命题者的答案却是利润率下降了0.83%。

百分率的变化用“增减若干百分点”来表示，这是个小学数学的基本常识，即便我们不管这个常识，就是要计算5.33%比4.50%下降了百分之几，也应该这样计算：（5.33%-4.50%）÷5.33%×100%≈15.57%，而不是下降了0.83%。

由于命题者不熟悉这个数学常识，使得该题成为没有正确答案的试题。

数学基础过硬的考生一眼就能看出该题答案存在的问题，不熟悉这个常识的考生与命题者的认知一致也不会选错，因此，命题的失误基本不影响考生做出正确的选择，但是，数学是严谨的，“百分之若干”与“若干百分点”不会因为高考试题而成为相同的概念。不熟悉这个常识，就意味着连国家统计局公报的数据都不能正确解读，基于此，笔者认为，高考备考，一线师生熟悉这个常识还是非常必要的。

三、与币值变动有关的计算

“升值”与“贬值”是有关货币问题的常见的两个概念，一轮备考中经常遇到计算“升值率”、“贬值率”等试题，解答这类试题需要我们熟悉一些数学常识。

（一）货币量计算公式隐含一个前提：物价水平不变。

流通中需要的货币量＝商品和服务的价格总额/货币流通速度

公式中的三个量，根据这个公式进行的计算，一般就是已知其中的2个量，计算第3个量。例如：

【例1】某国商品价格总额50亿元，货币流通5次/年，计算流通中需要是多少货币?

50÷5＝10（亿元）

也就是说，这个公式计算得出的是“要保持物价水平不变”，流通中实际需要10亿元的货币。

（二）货币理论中的“正比”与“反比”关系

“流通中实际需要的货币量与商品和服务价格总额成正比、与货币的流通速度成反比”表示的是“动态”的货币量与价格总额、与流通速度的关系。

（1）在“流通中实际需要的货币量与商品和服务的价格总额成正比”中，也隐含一个前提：物价水平不变，共涉及到4个量，已知3个量求1个未知量，即在保持物价水平不变的前提下，计算未知量。

【例2】2019年流通中的货币量为10亿元，商品和服务价格总额为50亿元。2020年商品和服务价格总额增加了10亿元，在其他条件不变的情况下，要保持物价水平不变，流通中需要多少货币？

解答过程：设2020年的实际需要的货币量为X，列比列式

2019货币量：2020货币量＝2019价格总额：2020价格总额

即 10：X＝50：（50＋10）（注意：正比即2019币:2020币＝2019价格总额:2020价格总额）

50X＝10×60 （解比例式口诀：内项之积＝外项之积）

X＝12（亿元）

熟悉比例知识之后可以直接列算式：10×（60÷50）＝12（亿元）。即商品和服务价格总额扩大至原来的（60÷50）倍，需要的货币量也扩大（60÷50）倍

（2）在“流通中实际需要的货币量与货币的流通速度成反比”中，同样隐含一个前提：物价水平不变；也涉及到4个量，同样是已知其中的3个量，计算在保持物价水平不变的前提下未知量的大小。

【例3】2019年流通中的货币量为10亿元，货币流通速度为5次/年。2020年货币流通速度降低了20%，在其他条件不变的情况下，要保持物价水平不变，流通中需要多少货币？

解答过程：设2020年实际需要的货币量为X，列比例式

2019货币量：2020货币量＝2020流通速度：2019流通速度

即 10：X＝（5-5×20%）：5

（注意：“反比”的比例式中等号前后各个量位置，这与“正比”不同）

4X＝10×5 （解比例式口诀：内项之积＝外项之积）

X＝12.5（亿元）

熟悉反比知识后可以直接列算式：10×（5÷4）＝12.5（亿元。即流通速度缩小至原来的（4/5），货币量则扩大至原来的（5/4）倍。

（三）“通胀率”>“贬值率”

国家增发货币会引起通货膨胀、货币贬值，经济生活中“通胀率”与“贬值率”是经常使用的两个概念，它们的计算公式如下：

通胀率=（实发货币量-流通中需要的货币量）÷流通中需要的货币量×100%

贬值率=（实发货币量-流通中需要的货币量）÷实发货币量×100%

（实发货币量-流通中需要的货币量）所得的差，我们习惯称之为“多发的货币量”。由于“多发的货币量”<实发货币量，因此，由于从数学角度，通胀率可以无限大，但贬值率永远小于100%，而且“通胀率”的值要大于“贬值率”的值。

下面是几组常见的数据，熟悉这组数据，进行相关计算可以节省时间：

通胀率200%≈贬值率66.67%

通胀率100%=贬值率50%

通胀率60%=贬值率37.5%

通胀率50%≈贬值率33.33%

通胀率25%=贬值率20%

（四）“升值率”≠贬值率

由于世界各国普遍适用纸币，而纸币的总体趋势是贬值，因此“升值”一般都是出现在两种货币的兑换中。A国货币对B国货币升值，就意味着B国货币对A国货币贬值。

A国货币升值率=（升值后兑换的B货币的数量-升值前兑换的B货币数量）÷升值前兑换的B货币数量×100%

B国货币贬值率=（贬值后兑换的A货币的数量-贬值前兑换的A货币数量）÷贬值前兑换的B货币数量×100%

根据数学原理，升值率≠贬值率，如，A货币对B货币升值100%，意味着B货币对A货币贬值50%。从理论上，升值率可以无限大，但贬值率永远低于100%。

由于不熟悉“升值率≠贬值率”、“贬值率永远低于100%”这个常识，《半月谈》杂志曾经有一篇文章认为乌克兰货币贬值200%的文章，闹了个“世界级笑话”，相关文字如下：

“一系列变化直接导致乌克兰经济衰退，政府债台高筑，国民生活贫困。2014年国内生产总值同比下跌了7.5%，其货币格里夫纳对美元一年贬值超过200%，物价大幅上涨，国家外汇储备缩水了三分之二……”（2016年第9期《半月谈》，《“广场革命”两周年后再看俄乌》作者盛世良）

在这段文字中，乌克兰货币的贬值是相对于美元贬值，其中的“货币格里夫纳对美元一年贬值超过200%”是明显与实际不符的。

我们知道，甲货币对乙货币升值的百分比，并不等于乙货币对甲货币贬值的百分比。根据“全球经济数据”网站（www.qqjjsj.com）提供的数据，2014年2月3日美元与格里夫纳的兑换比率是1：8.3058，2016年2月2日的兑换比率为1：25.5005。2年的时间里，美元对乌克兰货币格里夫纳的升值率=（25.5005-8.3058）÷8.3058≈207%，很明显是《半月谈》文章的作者把美元对乌克兰货币的升值率，当成了乌克兰货币格里夫纳对美元的贬值率，实际上乌克兰货币格里夫纳对美元的贬值率是多少？

（1/8.3058-1/25.5005）÷（1/8.3058）≈69%。

事实上，不但乌克兰的货币不会贬值200%，任何一个国家的货币的贬值率都不会达到100%。

简单的结语

数学是严谨的，经济学离不开数学，高考备考所需的都是一些基础的数学知识和能力；高考备考涉及数学的试题我们无法回避，熟悉一些必备的数学常识、掌握一些基本的数学能力是必要的、也是可行的。